Nell'agile volume tradotto da Ugo Pagallo il matematico e teorico dell'informazione Gregory Chaitin offre al lettore italiano una sintesi essenziale dalle sua teoria algoritmica della complessità, che --- come ricorda con una certa enfasi nella sua Presentazione John Casti --- "sarà ricordata affianco a quelle di Gödel, di Turing, di von Neumann e di altre semidivinità presenti nel Pantheon della matematica, le cui idee hanno cambiato la nostra prospettiva su ciò che è e ciò che non è" (p. 4). Chaitin propone con varie modifiche (e con alcune ripetizioni) quattro saggi scritti tra il 2003 e il 2005, relativi alle implicazioni epistemologiche e filosofiche contenute nella sua teoria algoritmica dell'informazione, che muove dalla definizione quantitativa di "complessità" come "misura in bit del più piccolo programma informatico richiesto per il calcolo" (p. 9).
Nel quadro composito e a volte contraddittorio degli studi sui sistemi complessi e delle teorie della complessità, la ricerca di Chaitin occupa una posizione peculiare, e perché concerne il dominio privilegiato della matematica, e perché si pone su un piano operativo connesso alle procedure algoritmiche della computazione, e perché tende a far gruppo con ricerche similari nell'indicazione di un "mutamento di paradigma" nella visione della matematica e di conseguenza della scienza.
Il mutamento di paradigma della filosofia digitale consiste in "una drammatica convergenza della matematica con l'informatica teorica e con la fisica teorica" (p. 36), che ha condotto fisici come Seth Lloyd, informatici come Stephen Wolfram e matematici come lo stesso Chaitin a ritrovare nella natura quella stessa informazione discreta, elaborata in bit, che domina nel campo dell'informatica ed è ben presente in matematica. I concetti di informazione e computazione divengono in questa nuova prospettiva criteri fondamentali di unificazione della descrizione dei sistemi fisici e biologici e delle teorie matematiche: tutti processano informazione, programmano sistemi complessi.
In secondo luogo, sul piano epistemologico, Chaitin propone --- richiamandosi a Imre Lakatos --- una visione della matematica come scienza quasi-empirica e sperimentale che accumula, come la fisica, nuovi assiomi pragmaticamente giustificati anche se non auto-evidenti. Se comprendere equivale a comprimere "fatti" in leggi, i dati empirici, come i teoremi matematici, sono "fenomeni", rispettivamente compressi in leggi fisiche o in assiomi matematici, tramite il software di un computer.
In terzo luogo, sul piano matematico e meta-matematico, Chaitin propone la sua teoria algoritmica dell'informazione richiamandosi a un capostipite illustre, Gottfried Wilhelm Leibniz, inventore di uno tra i primi calcolatori meccanici e della notazione binaria in base due per i numeri, e a due maestri più recenti: Kurt Gödel con il suo teorema dell'incompletezza e Alan Turing con la sua definizione del problema dell'arresto di un programma informatico nell'articolo apparso nel 1936 sui Proceedings of the London Mathematical Society ("On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem"). Per parte sua Chaitin arricchisce i risultati acquisiti da Gödel e Turing, potenziando la loro definizione dei limiti intrinseci della matematica, con la considerazione che alcuni fatti matematici, infinitamente complessi, non hanno ridondanza e non possono essere compressi in nessuna teoria matematica.
Se Turing aveva dimostrato che non si può decidere se un programma informatico auto-delimitante si arresterà o meno in un tempo indefinito, Chaitin si chiede "se un programma scelto a caso si arresterà mai" (p. 19) e propone una procedura operativa con la teoria del numero Ω, "pari alla somma di 1/(due elevato alla potenza della grandezza in bit di ogni programma che si arresta)" (p. 29). Se ne deduce che "la probabilità di arresto di Ω è un numero massimamentre non computabile" (p. 20).
Che la questione non sia puramente computazionale e operativa lo dimostra bene Chaitin: Ω è irriducibile sia da un punto di vista logico che computazionale. Vi sono numeri che, como la maggior parte dei numeri interi positivi, non posseggono alcuna struttura matematica, vi sono fatti matematici, infinitamente complessi, che non hanno ridondanza e non essendo "comprimibili" in nessuna teoria matematica vanno assunti come tali. La teoria algoritmica dell'informazione "considera una teoria scientifica o matematica come un programma informatico che calcola i fatti, là dove il programma più piccolo è anche il migliore. La complessità della teoria, della legge, è misurata con i bit del software" (p. 46). Tuttavia, pur muovendo, proprio alla luce della teoria di Chaitin, dall'esigenza "sperimentale" del laboratorio computazionale, bisogna accettare l'esistenza di numeri non computabili, allo stesso modo che in fisica si accettano limiti invalicabili nella misura, in base al principio di indeterminazione di Heisenberg e alla dualità onda-corpuscolo.
A partire da tali risultati operativi non soltanto viene rafforzata la descrizione dell'incompletezza del più raffinato sistema formale elaborato dalla cultura umana (con buona pace del sogno di Hilbert sulla possibilità di porre un'immutabile teoria assiomatica formale a fondamento di tutta la matematica). Ma emerge anche una visione "empirica" della matematica e discreta dell'universo fisico e biologico, suscettibile di essere ricondotta in quel paradigma computazionale che Chaitin vede predominare nello scenario futuro della scienza.
Gaspare Polizzi